Question

Cho hpt: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=1\\mx+y=1\end{matrix}\right.\)

(m là tham số)

a) Giải hpt với m = 2

b) Tìm m để hpt có no duy nhất thỏa mãn x, y >0

Answer 1

ĐK: \(m\ne0\)

a, Thay m = 2 (TM) vào hệ PT ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\2x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=2\\2x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=1\\2x+4y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ PT có nghiệm (x ; y) là \(\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=1\\mx+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\left(1\right)\\mx+y=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thay (1) vào (2) ta có: \(m\left(1-my\right)+y=1\)\(\Leftrightarrow m-m^2y+y=1\Leftrightarrow y\left(1-m^2\right)=1-m\left(3\right)\)

Để hệ PT có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\)PT (3) có nghiệm \(\Leftrightarrow1-m^2\ne0\Leftrightarrow m^2\ne1\Leftrightarrow m\ne\pm1\)

Với \(m\ne\pm1\) thì hệ PT có nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1-m}{1-m^2}=\dfrac{1-m}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\dfrac{1}{1+m}\\x=\dfrac{1}{1+m}\end{matrix}\right.\)

Để x, y > 0 \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+m}>0\)mà 1 > 0 nên \(1+m>0\Leftrightarrow m>-1\)kết hợp với điều kiện ta có: \(m>-1,m\ne1\)

Answer 2

Mình làm câu b thôi nhé

b) Ta có: x + my = 1

=> x = 1 - my

Lại có: mx + y = 1

=> y = 1 - mx = 1 - m(1 - my) = 1 - m + m²y

=> y - m²y = 1 - m

=> y(1 - m²) = 1 - m

=> y = \(\dfrac{1-m}{1-m^2}=\dfrac{1}{1+m}\)

=> x = 1 - \(\dfrac{m}{1+m}\) = \(\dfrac{1}{1+m}\)

=> Để x, y > 0 thì m + 1 > 0

=> m > -1