Violympic toán 9

Hày Cưi

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì \(n^3+1\) không thể là số chính phương

Akai Haruma
27 tháng 1 2019 lúc 20:11

Lời giải:
Giả sử tồn tại $n$ lẻ thỏa mãn $n^3+1$ là số chính phương.

Khi đó đặt \(n^3+1=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)

\(\Leftrightarrow (t-1)(t+1)=n^3\)

Đặt \((t-1,t+1)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t-1\vdots d\\ t+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\vdots d\)

Mà vì $n$ lẻ nên $t$ chẵn, kéo theo $t-1$ lẻ, do đó ước $d$ cũng lẻ

\(\Rightarrow d=1\) hay \((t-1,t+1)=1\)

Khi đó để $(t-1)(t+1)$ là 1 số lập phương thì phải tồn tại $u<v\in\mathbb{N}$ sao cho \(\left\{\begin{matrix} t-1=u^3\\ t+1=v^3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v^3-u^3=2\Leftrightarrow (v-u)(v^2+vu+u^2)=2\)

Vì $v-u>0$ và \(v-u\le v^2+vu+u^2, \forall u,v\in\mathbb{N}\) nên:

\(v-u=1; v^2+vu+u^2=2\)

\(\Rightarrow (v-u)^2+3vu=2\Rightarrow 1+3vu=2\Rightarrow vu=\frac{1}{3}\) (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai. Hay nếu $n$ lẻ thì $n^3+1$ không thể là scp

Bình luận (0)
Hung nguyen
28 tháng 1 2019 lúc 10:20

Giả sử tồn tại x lẻ sao cho đề bài thỏa mãn.

Ta có:

\(x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)\(x+1;x^2-x+1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=a^2\left(1\right)\\x^2-x+1=b^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\a=\pm1\end{matrix}\right.\) thế lại vô bài toán thì thấy không thõa

Vậy có điều phải chứng minh.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN