Lời giải:
Giả sử tồn tại $n$ lẻ thỏa mãn $n^3+1$ là số chính phương.
Khi đó đặt \(n^3+1=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Leftrightarrow (t-1)(t+1)=n^3\)
Đặt \((t-1,t+1)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t-1\vdots d\\ t+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\vdots d\)
Mà vì $n$ lẻ nên $t$ chẵn, kéo theo $t-1$ lẻ, do đó ước $d$ cũng lẻ
\(\Rightarrow d=1\) hay \((t-1,t+1)=1\)
Khi đó để $(t-1)(t+1)$ là 1 số lập phương thì phải tồn tại $u<v\in\mathbb{N}$ sao cho \(\left\{\begin{matrix} t-1=u^3\\ t+1=v^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v^3-u^3=2\Leftrightarrow (v-u)(v^2+vu+u^2)=2\)
Vì $v-u>0$ và \(v-u\le v^2+vu+u^2, \forall u,v\in\mathbb{N}\) nên:
\(v-u=1; v^2+vu+u^2=2\)
\(\Rightarrow (v-u)^2+3vu=2\Rightarrow 1+3vu=2\Rightarrow vu=\frac{1}{3}\) (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai. Hay nếu $n$ lẻ thì $n^3+1$ không thể là scp
Giả sử tồn tại x lẻ sao cho đề bài thỏa mãn.
Ta có:
\(x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\) mà \(x+1;x^2-x+1\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=a^2\left(1\right)\\x^2-x+1=b^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\a=\pm1\end{matrix}\right.\) thế lại vô bài toán thì thấy không thõa
Vậy có điều phải chứng minh.
