Question

Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=12. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1}\le3\sqrt{17}\)

Answer 1

Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=4\) .

Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+4\ge4\sqrt{a}\\b+4\ge4\sqrt{b}\\c+4\ge4\sqrt{c}\end{matrix}\right.\Rightarrow2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}\le\dfrac{a+b+c+12}{2}\)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :

\(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1}\le\sqrt{3.\left[3\left(a+b+c\right)+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\right]}=\sqrt{3.\left(3.12+12+3\right)}=3\sqrt{17}\)

Vậy BĐT đã được chứng minh !

Hơi khoai :))))))