Question

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I

a, Tứ giác HIAC, AHBK là hình gì ? Vì sao ?

b, Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHBK là hình vuông

c, Cho HK = \(\sqrt{41}\) cm, BC = 8cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Answer 1

a, AH là đường cao tam giác ABC cân tại A

=> AH là trung tuyến tam giác ABC

=> H là trung điểm AC.

Vì I, H là trung điểm AB, BC

=> IH là đường trung bình tam giác ABC

=> IH // AC

=> HIAC là hình thang

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}IA=IB\\IH=IK\end{matrix}\right.\) và \(\widehat{AHB}=90^o\) nên AHBK là hình chữ nhật.

b,

Để AHBK là hình vuông thì AH = BH

<=> tam giác HAB cân tại H

Lại có góc AHB = 90^o

=> tam giác HAB vuông cân tại H

=> góc ABH = 45^o

Mà tam giác ABC cân tại A nên điều kiện là tam giác ABC vuông cân tại A.

c,

Vì AHBK là hình chữ nhật nên AB = HK = \(\sqrt{41}\)cm

\(BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{8}{2}=4cm\)

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{41-16}=\sqrt{25}=5cm\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{5\cdot8}{2}=20\left(cm^2\right)\)