a) ∆ABC cân, suy ra B1^=C1^ (1)
B1^+ABM^=1800 (hai góc kề bù) (2)
C1^+ACN^=1800 (hai góc kề bù) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ABM^=ACN^
Xét ∆ABM và ∆CAN có:
AB = AC (gt)
ABM^=ACN^ (cmt)
BM = CN (gt)
Vậy ∆ABM = ∆CAN (c.g.c)
Suy ra M^=N^
Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.
b) Xét hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN (gt)
M^=N^ (CM từ câu a)
Vậy ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ ra BH = CK.
c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).
Do đó AH = AM – HM = AN – KN = AK (theo (*) và (**))
Vậy AH = AK.
d) ∆BHM = ∆CKN suy ra B2^=C2^
Mà B2^=B3^ (2 góc đối đỉnh); C2^=C3^ (2 góc đối đỉnh)
Nên B3^=C3^ .
Vậy ∆OBC là tam giác cân tại O.
e) Khi BAC^=60o và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:
+ Tam giác cân ABC có BAC^=60o nên là tam giác đều hay AB = BC = AC
Mặt khác: BM = CN = BC (gt)
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
Ta có: ABM^=ACN^=120o (cùng bù với 600)
Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra M^=BAM^=180o−120o2=30o .
Suy ra ANM^=AMN^=30o .
Và MAN^=180o−(AMN^+ANM^)
=180o−2.30o=120o
Vậy ∆AMN có M^=N^=30o;A^=120o.
+∆BHM vuông tại H có: M^=30o nên B2^=60o (hai góc phụ nhau)
Suy ra B3^=60o (2 góc đối đỉnh)
Tương tự C3^=60o
Tam giác OBC có B3^=C3^=60o nên tam giác OBC là tam giác đều.
(Tam giác cân có một góc bằng 600 nên là tam giác đều).