Question

Tìm GTNN của C= \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)

Answer 1

Áp dụng BDT cauchy-schwarz:

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+c\left(a+b\right)}=\dfrac{2}{1+\dfrac{2c}{a+b}}\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}=x\) thì \(VT\ge\dfrac{2}{1+x^2}+x\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{2}{1+x^2}+x=2-\dfrac{2x^2}{1+x^2}+x\ge2-\dfrac{2x^2}{2x}+x=2\)

Dấu = xảy ra khi x=1 và a=b hay a=b=c