Violympic toán 8

Nguyễn Thanh Hiền

Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . Tính \(M=\left(\dfrac{a}{b}+1\right)\left(\dfrac{b}{c}+1\right)\left(\dfrac{c}{a}+1\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 1 2019 lúc 23:31

\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

\(M=\dfrac{\left(a+b\right)}{b}.\dfrac{\left(b+c\right)}{c}.\dfrac{\left(a+c\right)}{a}=\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-abc}{abc}=-1\)

TH2: \(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

\(M=\left(\dfrac{a}{a}+1\right)\left(\dfrac{a}{a}+1\right)\left(\dfrac{a}{a}+1\right)=2.2.2=8\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Kamato Heiji
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Vũ Phương Thảo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
 ♫ Love Music  ♫
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Hồ Thị Minh Châu
Xem chi tiết