Question

Cho đường tròn O , bán kính R , đường kính AB . Vẽ dây BC = R . Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến của ( O ) tại A ở D .

a . CMR tam giác ABC là tam giác vuông .

b . Gọi M là trung điểm của AD . CMR MC là tiếp tuyến của ( O ) .

c . Tính CD theo R .

Answer 1

a) Xét △ABC có OA=OB=OC=\(\dfrac{AB}{2}\left(=R\right)\)

\(\Rightarrow\)△ABC vuông tại C

b) Ta có △ACD vuông tại C có CM là đường trung tuyến \(\Rightarrow MC=AM=DM=\dfrac{AD}{2}\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

Mà \(\widehat{MAC}+\widehat{CAO}=90^0\)

\(\widehat{CAO}=\widehat{ACO}\)(△OAC cân tại O)

Suy ra \(\widehat{MCA}+\widehat{ACO}=90^0\Rightarrow\widehat{OCM}=90^0\) hay OC⊥MC

Mà C thuộc đường tròn (O)

Suy ra MC là tiếp tuyến của (O)

c) Ta có △ADB vuông tại D đường cao AC\(\Rightarrow AC^2=BC.CD\Rightarrow AB^2-BC^2=BC.CD\Leftrightarrow\left(2R\right)^2-R^2=R.CD\Rightarrow4R^2-R^2=R.CD\Rightarrow CD=\dfrac{3R^2}{R}=3R\)