Violympic toán 9

Bolbbalgan4

Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt. chứng minh rằng \(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1\) (mod pq)

Akai Haruma
7 tháng 1 2019 lúc 17:51

Lời giải:

Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi snt $p,q$ mà $(p,q)=1$ ta luôn có:

\(\left\{\begin{matrix} p^{q-1}\equiv 1\pmod q\\ q^{p-1}\equiv 1\pmod p\end{matrix}\right.\)\(\left\{\begin{matrix} q^{p-1}\equiv 0\pmod q\\ p^{q-1}\equiv 0\pmod p\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod q\\ q^{p-1}+p^{q-1}\equiv 1\pmod p\end{matrix}\right.\)

Đặt \(p^{q-1}+q^{p-1}=qm+1=pn+1\)

\(\Rightarrow qm=pn\). Mà $(p,q)=1$ nên \(qm\vdots p\Rightarrow m\vdots p\). Đặt \(m=pm_1\)

Khi đó: \(p^{q-1}+q^{p-1}=qm+1=qpm_1+1\equiv 1\pmod {pq}\)

Ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH TÀI
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
yuo yuo
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Cẩm Nhi
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết