Lời giải:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b-c}=-(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(c-a)(a-b)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=-\frac{a^2-ab+bc-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Do đó:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{bc-b^2+c^2-ac+a^2-ab+bc-c^2+ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=-0=0\)
Nếu $a,b,c$ đều âm, khi đó \(\frac{a}{(b-c)^2}< 0; \frac{b}{(c-a)^2}< 0; \frac{c}{(a-b)^2}< 0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}< 0\) (mâu thuẫn)
Nếu $a,b,c$ đều dương, khi đó \(\frac{a}{(b-c)^2}> 0; \frac{b}{(c-a)^2}> 0; \frac{c}{(a-b)^2}> 0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}>0\) (mâu thuẫn)
Trường hợp có từ 2 số trở lên bằng $0$ thì hoàn toàn vô lý.
Do đó, trong 3 số $a,b,c$ phải có một số âm và một số dương.
