Question

Cho x,y là 2 số nguyên dương có tổng bằng 100 .Tìm giá trị nhỏ nhất của A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)

Answer 1

Ta có:

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{100}{xy}\)

Để A nhỏ nhất thì xy lớn nhất.

Tách 100 thành tổng hai số nguyên dương: 100 = 50 + 50 = 49 + 51 = 48 + 52 = ... = 1 + 99

Không mất tính tổng quát, giả sử x \(\ge\) y

Khi đó (x, y) \(\in\) {(50; 50), (51; 49), (52; 48),..., (99; 1)}

Lại có với hai số a, b trong đó a \(\ge\) b thì ab > (a + 1)(b - 1)

Thật vậy, ta có (a + 1)(b - 1) = a(b - 1) + (b - 1) = ab - a + b - 1 = ab - (a - b) - 1 < ab

Do đó 50 . 50 > 51 . 49 > 52 . 48 > ... > 99 . 1

Để xy lớn nhất thì x = y = 50.

Khi đó A = \(\dfrac{1}{25}\)

Vậy Min A = \(\dfrac{1}{25}\) khi và chỉ khi x = y = 50