Phân thức đại số

Bùi Quang Sang

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1Δ. CMR : A = a/b+c-a + b/a+c-b + c/a+b-c ≥ 3

 Mashiro Shiina
5 tháng 1 2019 lúc 10:52

Đặt:

\(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2c\\y+z=2a\\x+z=2b\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)

\(2A=\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

\(=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{yz}{yz}}+2\sqrt{\dfrac{xz}{xz}}=6\) (AM-GM)

\(\Rightarrow2A\ge6\Leftrightarrow A\ge3\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Kurro Sagaii
Xem chi tiết
Minh Hoang Hai
Xem chi tiết
Cô Nàng Song Tử
Xem chi tiết
Linh Trần
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Cô Nàng Song Tử
Xem chi tiết
Đào Thu Hiền
Xem chi tiết
_ Yuki _ Dễ thương _
Xem chi tiết
Trần Văn Tú
Xem chi tiết