Bài 1 :
Cho hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2 :
Cho hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2x-y=m+5\end{matrix}\right.\)
a) Với giá trị nguyên nào của m để 2 đường thẳng của hệ cắt nhau tại 1 điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy ?
b) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Akai Haruma Giúp em với ạ :((
Bài 1:
Từ PT(2)\(\Rightarrow x=4-my\). Thay vào PT(1) ta có:
\(m(4-my)+4y=10-m\)
\(\Leftrightarrow y(4-m^2)=10-5m\)
\(\Leftrightarrow y(2-m)(2+m)=5(2-m)\)
Để HPT có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt trên phải có nghiệm $y$ duy nhất. Điều này xảy ra khi $(2-m)(2+m)\neq 0$
\(\Leftrightarrow m\neq \pm 2\)
Khi đó: \(y=\frac{5(2-m)}{(2-m)(2+m)}=\frac{5}{2+m}\)
\(\Rightarrow x=4-my=\frac{8-m}{m+2}\)
Ta có $x>0;y>0$ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{8-m}{m+2}>0\\ \frac{5}{m+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8-m> 0\\ m+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -2< m< 8\)
Vậy tóm lại là $-2< m< 8$ và $m\neq 2$
b)
$y$ là số nguyên dương khi \(\left\{\begin{matrix} 5\vdots m+2\\ m+2>0\end{matrix}\right.\)
Từ đây ta dễ dàng tìm được $m=3$
Thử lại vào giá trị $x$ thấy thỏa mãn
Vậy $m=3$
Bài 2:
a)
PT (2) \(\Rightarrow y=2x-(m+5)\)
Thay vào PT(1) suy ra:
\((m-1)x-m[2x-(m+5)]=3m-1\)
\(\Leftrightarrow x(-m-1)=-(m^2+2m+1)\)
\(\Leftrightarrow x(m+1)=(m+1)^2\)
Nếu $m=-1$ thì 2 đường thẳng song song (cùng hệ số góc) nên k thể cắt nhau. Do đo $m\neq -1$
Khi đó $x=m+1$
\(\Rightarrow y=2x-m-5=2(m+1)-m-5=m-3\)
Vậy $(x,y)=(m+1, m-3)$
Để giao điểm của 2 đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ IV trong hệ Oxy thì \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ y< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1> 0\\ m-3< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1< m< 3\)
Vậy........
b)
\(P=x^2+y^2=(m+1)^2+(m-3)^2=2m^2-4m+10\)
\(=2(m^2-2m+1)+8=2(m-1)^2+8\geq 8, \forall m\neq -1\)
Vậy $P_{\min}=8$ khi $(m-1)^2=0$ hay $m=1$ (thỏa mãn)
Bài 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2)\(\Leftrightarrow x=4-my\)
Từ (1) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{10-m\left(x+1\right)}{4}=\dfrac{10-m\left(5-my\right)}{4}\)
Để y>0 \(\Rightarrow m\left(5-my\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow m< \dfrac{10}{5-my}\)
mà y>0 nên \(m< \dfrac{10}{5}=2\)
Vậy m <2 thì hệ có nghiệm (x;y) sao cho x>0;y>0.
