Question

cho\(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

1) Lấy O đối xứng với F qua E. Chứng minh AFCO là hình chữ nhật

2)Gọi P là giao điểm của DO và AE,Gọi Q là giao điểm của DC và FE. Chứng minh

a) Tứ giác ADEO là hình bình hành

b)PQ \(\perp\)DE

Answer 1

1) ΔABC cân tại A ; AF là trung tuyến ( F là trung điểm BC )

\(\Rightarrow\) AF đồng thời là đường cao \(\Rightarrow\) \(\widehat{AFC}\) = 90\(^O\)

Xét tứ giác AFCO có :

AE = EC ( E là trung điểm AC )

EF = OE ( O đối xứng với F qua E )

AC \(\cap\) OF = \(\left\{E\right\}\)

\(\Rightarrow\) AFCO là hình bình hành

mà \(\widehat{AFC}\) = 90^O (cmt) \(\Rightarrow\) AFCO là hình chữ nhật

2) a) Xét ΔABC có :

BF = CF ( F là trung điểm BC )

AE = CE ( E là trung điểm AC )

\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình ΔABC

\(\Rightarrow\) EF // AB ; EF = \(\dfrac{1}{2}\) AB ( Tính chất đường trung bình trong tam giác )

CMTT : DE là đường trung binh ΔABC

\(\Rightarrow\) DE // BC ( Tính chất đường trung bình tỏng tam giác )

EF = EO = \(\dfrac{1}{2}\) AB ( cmt ) ; AD = \(\dfrac{1}{2}\) AB ( D là trung điểm AB )

\(\Rightarrow\) EO = AD

Xét tứ giác ADEO có :

EO = AD ( cmt )

EO // AD ( EF // AD )

\(\Rightarrow\) ADEO là hình bình hành \(\Rightarrow\) AP = EP

CMTT : DECF là hình bình hành \(\Rightarrow\) EQ = FQ

b) DE // BC (cmt) ; AF\(\perp\)BC ( \(\widehat{AFC}\) = 90^O )

\(\Rightarrow\) DE \(\perp\) AF

Xét ΔAEF có :

AP = EP (cmt)

EQ = FQ (cmt)

\(\Rightarrow\) PQ là đường trung bình ΔAEF

\(\Rightarrow\) PQ // AF (Tính chất đường trung bình trong tam giác)

mà DE \(\perp\) AF (cmt) \(\Rightarrow\) PQ \(\perp\) DE