Violympic toán 8

Nguyễn Trung Nghĩa

Bài toán :

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn :

a2 + b2 + c2 = 1

Tính Min của A = \(\dfrac{1}{16a^2}+\dfrac{1}{4b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)

Phạm Nguyễn Tất Đạt
20 tháng 12 2018 lúc 22:01

\(A=\dfrac{1}{\dfrac{16}{a^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{4}{b^2}}+\dfrac{1}{c^2}\)

\(A\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(A\ge\dfrac{49}{\dfrac{16}{1}}=\dfrac{49}{16}\)

"="<=>\(c^2=2b^2=4a^2\)

Bình luận (0)
Truy kích
20 tháng 12 2018 lúc 22:03

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(A=\left(\dfrac{1}{16a^2}+\dfrac{1}{4b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{\dfrac{1}{16a^2}\cdot a^2}+\sqrt{\dfrac{1}{4b^2}\cdot b^2}+\sqrt{\dfrac{1}{c^2}\cdot c^2}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2=\dfrac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{1}{16a^2}}{a^2}=\dfrac{\dfrac{1}{4b^2}}{b^2}=\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{c^2}\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{7}};b=\sqrt{\dfrac{2}{7}};c=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Maxx
Xem chi tiết
Lê Thị Hoàng Linh
Xem chi tiết
Mạnh Dũng
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Lil Shroud
Xem chi tiết
Lil Shroud
Xem chi tiết
Lặng Thầm
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Châu
Xem chi tiết