Violympic toán 9

hakito

Cho ba số thực a,b,c sao cho \(1\le a\le2\),\(1\le b\le2\),\(1\le c\le2\)

Chứng minh \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\le7\)

Neet
16 tháng 12 2018 lúc 21:00

Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\)

Khi đó dễ thấy dấu = sẽ đạt được tại biên, tức a=2, c=1 nên ta sẽ dồn các biến ra biên

Ta có: \(\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\left(\dfrac{b}{c}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\le\dfrac{a}{c}+1\)

\(\left(\dfrac{b}{a}-1\right)\left(\dfrac{c}{b}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\le\dfrac{c}{a}+1\)

Do đó \(VT\le2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+2\) nên chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\)(*) hay \(\dfrac{\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)}{2ac}\le0\) ( luôn đúng do \(c\le a\le2c\) )

Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi a=2, c=1, b=1 hoặc a=2, c=1, b=2 và các hoán vị tương ứng.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Tobot Z
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
quangduy
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết