Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) (B,C là tiếp điểm), AO cắt BC tại D
a/ CM: 4 điểm A,B,O,C thuộc cùng đường tròn. Xác định tâm
b/ Vẽ đường kính BE, AE cắt đường tròn (O) tại F. Gọi F là trung điểm EF, đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H CM: OD.OA=OG.OH
c/ CM: EH là tiếp tuyến của đường tròn
MỌI NGƯỜI GIÚP EM VỚI Ạ :((
Gọi M là trung điểm của OA
a) Ta có: BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA của tam giác vuông OAB (gt)
\(\Rightarrow\) BM = \(\dfrac{OA}{2}\) (1)
Mà OM = AM = \(\dfrac{OA}{2}\) (gt) (2)
Tương tự có: CM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA của tam giác vuông OAC (gt)
\(\Rightarrow CM=\dfrac{OA}{2}\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\) BM = OM = AM = CM
Vậy 4 điểm A, B ,O, C cùng thuộc đường tròn có tâm là M
b) Ta có: AB và AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau (gt) (4)
\(\Rightarrow AB=AC\) (5) \(\Rightarrow\Delta BAC\) cân tại A (6)
Từ (4) \(\Rightarrow AO\) là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)(7)
Từ (6), (7) \(\Rightarrow AO\) cũng là đường trung trực của \(\Delta BAC\) (8)
\(\Rightarrow AO\perp BC\) (9)
\(\Rightarrow\widehat{ODC}=90^o\)
Hay \(\widehat{ODH}=90^o\)(10)
Mà GE = GF (gt)
\(\Rightarrow OG\perp EF\) ( quan hệ giữa dây và đường kính)
Nên \(\widehat{OGF}=90^o\)
Hay \(\widehat{OGA}=90^o\) (11)
Mà \(\widehat{GOD}\) là góc chung của \(\Delta ODH\) và \(\Delta OGA\left(12\right)\)
Từ (10), (11), (12) \(\Rightarrow\Delta ODH=\Delta OGA\left(G-G\right)\)(13)
\(\Rightarrow\dfrac{OD}{OG}=\dfrac{OH}{OA}\Leftrightarrow OD.OA=OG.OH\)
c) Ta có: \(\Delta BEC\) có cạnh BE là đường kính của (O) (gt)
\(\Rightarrow\Delta BEC\) vuông tại C
Hay EC \(\perp BC\) (14)
Từ (9), (14) \(\Rightarrow OA\) // EC
\(\Rightarrow\widehat{GAO}=\widehat{CEA}\) (2 góc so le trong) (15)
Từ (13) \(\Rightarrow\widehat{DHO}=\widehat{GAO}\) (16)
Từ (15), (16) \(\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{DHO}\) Hay \(\widehat{CEA}=\widehat{CHO}\left(17\right)\)
Ta lại có: \(\widehat{OCA}=90^o\) (gt) (18)
Từ (14) \(\Rightarrow\widehat{HCE}=90^o\) (19)
Mà \(\widehat{OCA}+\widehat{ECO}=\widehat{ECA}\left(20\right)\)
Và \(\widehat{HCE}+\widehat{ECO}=\widehat{HCO}\left(21\right)\)
Từ (18), (19), (20), (21) \(\Rightarrow\widehat{ECA}=\widehat{HCO}\left(22\right)\)
Từ (17), (22) \(\Rightarrow\Delta CEA\sim\Delta CHO\left(G-G\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{CE}{CH}=\dfrac{CA}{CO}\Leftrightarrow\dfrac{CO}{CH}=\dfrac{CA}{CE}\left(23\right)\)
Từ (18), (19), (23) \(\Rightarrow\Delta OAC\sim HEC\left(C-G-C\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EHC}=\widehat{AOC}\) (24)
Từ (4) \(\Rightarrow OA\) là đường phân giác của \(\widehat{BOC}\)
\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOC}\) (25)
Từ (24), (25) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EHC}=\widehat{AOB}\)
Hay \(\widehat{EHB}=\widehat{DOB}\) (26)
Mà \(\widehat{OBD}\) là góc chung của \(\Delta BHE\) và \(\Delta BOD\) (27)
Từ (26), (27) \(\Rightarrow\Delta BHE\sim\Delta BOD\left(G-G\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BDO}=90^o\)
Hay OE \(\perp EH\) tại E (28)
Mà OE = R (gt) (29)
Từ (28), (29) \(\Rightarrow EH\) là tiếp tuyến của (O)
