Violympic toán 9

Lương Tuệ Mẫn

Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x+y+z=4.
Tìm GTNN của biểu thức P =\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2 }{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}=4\)
-PLS GIÚP MÌNH VỚI Ạ-

TNA Atula
12 tháng 12 2018 lúc 21:45

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{1}{4}\left(y+z\right)\ge2.\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}.\dfrac{1}{4}\left(y+z\right)}=x\)

Tung tu : \(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{1}{4}\left(x+z\right)\ge y\)

\(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)\ge z\)

=> P+\(\dfrac{1}{4}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\left(x+z\right)+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)\ge x+y+z\)

=> P+\(\dfrac{1}{4}\left(2x+2y+2z\right)\ge4\)

=> P+2≥4

=> P≥2

Dau = khi: x=y=z=\(\dfrac{4}{3}\)

Vậy Min P=2 khi x=y=z=\(\dfrac{4}{3}\)

Bình luận (0)
Nhã Doanh
12 tháng 12 2018 lúc 19:52

đề có vấn đề không vậy? P = 4 ?

Bình luận (1)
Nhã Doanh
12 tháng 12 2018 lúc 21:48

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel:

\(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Ngọc Hồng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết
Trần Ích Bách
Xem chi tiết