Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc cùng 1 nửa đường tròn). Trên Ax lấy điểm D sao cho AOD = 30. Qua D kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia By tại C
a, tính COD và BOC
b, Chứng minh AB^2= 4AD.BC
c, Cho OD= 6 (cm), tính CD
Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến CD trên nữa đường tròn O .
Câu a :
Ta có MD và AD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D .
Suy ra OD là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)
MC và BC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)
Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{COD}=90^0\) ( Tia phân giác của 2 góc kề bù )
Ta có : \(\widehat{AOD}=\widehat{MOD}=30^0\Rightarrow\widehat{BOC}=\dfrac{180^0-\left(30^0+30^0\right)}{2}=60^0\)
Câu b : Theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau thì \(\left\{{}\begin{matrix}AD=MD\\BC=MC\end{matrix}\right.\)
Xét tam giác DOC vuông tại O có OM là đường cao ta có :
\(OM^2=MC.MD\) ( hệ thức lượng )
\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{4}=MC.MD\Leftrightarrow AB^2=4.MC.MD\Leftrightarrow AB^2=4.AD.BC\)
Câu c : Theo tỉ số lượng giác kết hợp vs hệ thức lượng ta có :
\(MD=\sin30.OD=\dfrac{1}{2}.6=3cm\)
\(CD=\dfrac{OD^2}{MD}=\dfrac{6^2}{3}=12cm\)
