Violympic toán 9

Nguyễn Thị Bình Yên

Choa, b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. CMR:

1, \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\)

2, \(\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\sqrt{abc\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
18 tháng 1 2019 lúc 9:02

Bài 1 : Áp dụng BĐT trong tam giác ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\\b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\\c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\le a^2\\\left(b-c+a\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\\\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\end{matrix}\right.\)

Nhân từng vế BĐT ta được :

\(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\) ( đpcm )

Bài 2 : Theo BĐT Cô - si ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge abc\) (1)

Theo câu 1 ta lại có :

\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\sqrt{abc\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\sqrt{abc\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Thị Bình Yên
5 tháng 12 2018 lúc 13:20
Bình luận (0)
Eren
6 tháng 12 2018 lúc 23:28

1) Ta có: (a + b - c)(a - b + c) ≤ \(\dfrac{1}{4}\)(a + b - c + a - b + c)2 = \(\dfrac{1}{4}\)(2a)2 = a2

cmtt rồi nhân theo vế: a2b2c2 ≥ (a + b - c)2(a - b + c)2(- a + b + c)2

=> đpcm

Bình luận (0)
Eren
6 tháng 12 2018 lúc 23:29

2) \(VP=\sqrt{a\left(-a+b+c\right)}.\sqrt{b\left(a-b+c\right)}.\sqrt{c\left(a+b-c\right)}\le VP\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Cố Gắng Hơn Nữa
Xem chi tiết
Lê Anh Ngọc
Xem chi tiết
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết
Học tốt
Xem chi tiết
Dung Phạm
Xem chi tiết