Question

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(a+b+c=3\)

C/m: \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}^3=\dfrac{3}{2}\)

Answer 1

\(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)(AM-GM)

Cmtt và cộng theo vế:

\(VT\ge1+1+1-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Answer 2

cái mũ 3 kia ? VỚi lại đây là bđt hay đẳng thức,vt lại đề đc ko

Answer 3

\(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\) (Cô si ngược dấu)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2}\); \(\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT: \(VT\ge\left(1+1+1\right)-\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{2}\right)=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)