Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Nguyễn Trần

Cho a,b,c > 0 CMR:

\(\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le1\)

 Mashiro Shiina
4 tháng 12 2018 lúc 12:52

\(A=\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\)

\(\Leftrightarrow2A=\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{2b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\)

\(=1-\dfrac{bc}{2a^2+bc}+1-\dfrac{ac}{2b^2+ac}+1-\dfrac{ab}{2c^2+ab}\)

\(=3-\dfrac{bc}{2a^2+bc}-\dfrac{ac}{2b^2+ac}-\dfrac{ab}{2c^2+ab}\)

CM: \(P=\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ac}{2b^2+ac}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)

Thật vậy:

\(P\ge\dfrac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{2a^2bc+b^2c^2+2b^2ac+a^2c^2+2c^2ab+a^2b^2}\)

\(=\dfrac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{a^2bc+a^2bc+b^2c^2+b^2ac+b^2ac+a^2c^2+c^2ab+c^2ab+a^2b^2}\)

\(=\dfrac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab\left(ac+bc+ab\right)+bc\left(ab+bc+ac\right)+ac\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(=1\)

\(2A=3-P\le3-1=2\)

\(2A\le2\Leftrightarrow A\le1\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
oooloo
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Đức Anh Gamer
Xem chi tiết
Cold Wind
Xem chi tiết
Nguyễn Trần
Xem chi tiết
kookie kookie
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết