Violympic toán 9

GG boylee

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(2+2\sqrt{12n^2+1}\) là số nguyên

Chứng minh rằng : \(2+2\sqrt{12n^2+1}\) là số chính phương

Akai Haruma
1 tháng 12 2018 lúc 12:47

Lời giải:

Để \(2+2\sqrt{12n^2+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(12n^2+1\). phải là số chính phương lẻ.

Đặt \(12n^2+1=(2a+1)^2(a\in\mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow 12n^2=4a^2+4a\Leftrightarrow 3n^2=a(a+1)\)

\(a(a+1)=3n^2\vdots 3\) nên xét các TH sau:

TH1: \(a\vdots 3\). Đặt \(a=3k\)

Ta có: \(3n^2=a(a+1)=3k(3k+1)\)

\(\Leftrightarrow n^2=k(3k+1)\)

Dễ thấy $(k,3k+1)=1$ nên để tích của chúng là scp thì bản thân mỗi số đó là scp \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k+1=v^2\end{matrix}\right.\) \((u,v\in\mathbb{Z})\)

\(\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2a+1)=4a+4=4.3k+4\)

\(=4(v^2-1)+4=(2v)^2\) là số chính phương (đpcm)

TH2: \(a+1\vdots 3\). Đặt \(a+1=3k\)

\(\Rightarrow n^2=(3k-1)k\). Dễ thấy $(3k-1,k)=1$ nên \(\left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k-1=v^2\end{matrix}\right.(u,v\in\mathbb{Z})\)

\(\Rightarrow 3u^2-1=v^2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv 2\pmod 3\) (vô lý- loại)

Vậy..........

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Gia An Ho
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Tạ Uyên
Xem chi tiết
Thơ Anh
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Võ Thùy Trang
Xem chi tiết