Violympic toán 9

Nguyen

Giải hpt:\(\left\{{}\begin{matrix}x^3=7x+3y\\y^3=7y+3x\end{matrix}\right.\)(hpt đối xứng loại II)

Akai Haruma
30 tháng 11 2018 lúc 22:27

Lời giải:
Lấy PT(1) trừ đi PT(2) theo vế ta thu được:

\(x^3-y^3=(7x+3y)-(7y+3x)\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3=4(x-y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-4)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=y\\ x^2+xy+y^2=4\end{matrix}\right.\)

TH1:$x=y$ . Thay vào PT(1) ta có: \(x^3=7x+3y=10x\)

\(\Leftrightarrow x(x^2-10)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\rightarrow y=0\\ x=\pm \sqrt{10}\rightarrow y=\pm \sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

TH2: \(x^2+xy+y^2=4\)

Lấy PT(1)+PT(2) ta có \(x^3+y^3=10(x+y)\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-10)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=-y\\ x^2-xy+y^2=10\end{matrix}\right.\)

Nếu \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=4\\ x=-y\end{matrix}\right.\Rightarrow (-y)^2+(-y).y+y^2=4\)

\(\Leftrightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm 2\Rightarrow x=\mp 2\)

Nếu \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=4\\ x^2-xy+y^2=10\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=7\\ xy=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy=7\\ xy=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=1\\ xy=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 1\\ xy=-3\end{matrix}\right.\)

+) $x+y=1; xy=-3$: Theo định lý Vi-et đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT:

\(X^2-X-3=0\Rightarrow (x,y)=(\frac{1+\sqrt{13}}{2}; \frac{1-\sqrt{13}}{2})\) và hoán vị.

+) $x+y=-1; xy=-3$: Theo định lý Vi-et đảo thì $x,y$ là nghiệm của PT:

\(X^2+X-3=0\Rightarrow (x,y)=(\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; \frac{-1-\sqrt{13}}{2})\) và hoán vị.

Vậy...............

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Trần Diệp Nhi
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nhàn Nguyễn
Xem chi tiết
Linh nè
Xem chi tiết
Ninh Dương An Nhiên
Xem chi tiết
Wang Soo Yi
Xem chi tiết
Linh nè
Xem chi tiết