Tớ làm đây r mà bạn:
Câu hỏi của Lev Ivanovich Yashin - Toán lớp 6 | Học trực tuyến
Lời giải:
Vì \(1!+2!+3!+...+n!=p^2+q^2+5895>5895\)
\(\Rightarrow n>3\)
Ta thấy mọi số \(x\in\mathbb{N}; x\geq 3\) thì \(x!\vdots 3\)
Do đó: \(3!\vdots 3; 4!\vdots 3;....; n!\vdots 3\). Mà \(1!+2!=3\vdots 3\)
\(\Rightarrow 1!+2!+...+n!\vdots 3\)
\(\Rightarrow p^2+q^2+5895\vdots 3\)
\(\Rightarrow p^2+q^2\vdots 3\)
Ta biết rằng, một số chính phương thì chia $3$ chỉ có dư $0$ hoặc $1$. +)Nếu $p,q$ đều không chia hết cho $3$
\(\Rightarrow p^2+q^2=3k+1+3t+1=3(t+k)+2\not\vdots 3\) (vô lý)
+) Nếu $p,q$ có một số chia hết cho $3$, một số không chia hết cho $3$ thì:
\(p^2+q^2=3t+3k+1=3(t+k)+1\not\vdots 3\) (vô lý)
Do đó chỉ còn TH $p,q$ đều chia hết cho $3$
Mà $p,q$ là số nguyên tố nên \(p=q=3\)
\(\Rightarrow 1!+2!+...+n!=3^2+3^2+5895=5913\)
Đến đây dùng phép thử ta thu được $n=7$ thỏa mãn.
