Question

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\dfrac{1}{x^2+xy+y}+\dfrac{4x^2y^2+1}{xy}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+4xy+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{3xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{12xy}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)

\(4xy+\frac{1}{4xy}\geq 2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}=2(1)\)

\(\frac{5}{12xy}\geq \frac{5}{12.\frac{1}{4}}=\frac{5}{3}(2)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{3xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+3xy}=\frac{4}{(x+y)^2+2xy}=\frac{4}{1+2xy}\geq \frac{4}{1+2.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq \frac{8}{3}+2+\frac{5}{3}=\frac{19}{3}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{19}{3}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)