\(A=\dfrac{x^5+3x^3+x^2+3x-7}{x^2+2}=x^3+x+1+\dfrac{x-9}{x^2+2}\)
Để A nguyên \(\Rightarrow\dfrac{x-9}{x^2+2}\) nguyên
Đặt \(a=\dfrac{x-9}{x^2+2}\) \(\left(a\in Z\right)\) \(\Rightarrow ax^2+2a=x-9\Rightarrow ax^2-x+2a-9=0\)
\(\Delta=1-4a\left(2a-9\right)=-8a^2+36a+1\ge0\) và \(\Delta\) là số chính phương
\(\Rightarrow\dfrac{9-\sqrt{83}}{4}\le a\le\dfrac{9+\sqrt{83}}{4}\) ; mà a nguyên \(\Rightarrow a=\left\{0;1;2;3;4\right\}\)
\(a=0\Rightarrow x-9=0\Rightarrow x=9\)
\(a=1\Rightarrow\Delta=29\) không phải số chính phương (loại)
\(a=2\Rightarrow\Delta=41\) không phải số chính phương (loại)
\(a=3\Rightarrow\Delta=37\) không phải số chính phương (loại)
\(a=4\Rightarrow\Delta=17\) không phải số chính phương (loại)
Vậy \(x=9\) thì A nguyên
