Violympic toán 9

Hồ An

Chứng minh rằng với mọi số x,y ta có

x4+y4≥ x3y+xy3

Shurima Azir
15 tháng 11 2018 lúc 22:48

bđt <=> x4 + y4 - x3y - xy3 ≥ 0

<=> x(x3 - y3) - y(x3- y3) ≥ 0

<=> x(x - y)(x2 + xy + y2) - y(x - y)(x2 + xy + y2) ≥ 0

<=> (x - y)2(x2 + xy + y2) ≥ 0 (1)

Ta có: (x - y)2 ≥ 0 ∀x, y

x2 + xy + y2 = (x + \(\dfrac{1}{2}\)y)2 + \(\dfrac{3}{4}\)y2 ≥ 0 ∀ x, y

=> (1) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

Bình luận (0)
Rimuru tempest
16 tháng 11 2018 lúc 0:16

theo bđt cauchy schwars ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\x^4+x^2y^2\ge2x^3y\\y^4+x^2y^2\ge2xy^3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4\right)+2x^2y^2\ge2\left(xy^3+x^3y\right)+2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\)

vậy đpcm

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
yeens
Xem chi tiết
Thành Trương
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Nguyễn Phan Văn Trường
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Bếu Khá BảnH
Xem chi tiết
Lê Thị Ngọc Duyên
Xem chi tiết