Bài này lắp tọa độ vào thì lời giải rất đơn giản, nhưng ko biết bạn học tới đó chưa, nên sử dụng hình học không gian thuần túy vậy, hơi rắc rối chút.
Bạn tự vẽ hình.
Dễ dàng chứng minh \(AC\perp CD\) bằng Pitago.
Kéo dài CD cắt AB tại E =>BE=AB=a
\(BC\perp AB;BC\perp SA\) (do \(SA\perp\) đáy) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow\)H là h/c của A lên (SBC)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB, ta có:
\(\dfrac{HS}{BS}=\dfrac{SA^2}{SB^2}=\dfrac{SA^2}{AB^2+SA^2}=\dfrac{3a^2}{a^2+3a^2}=\dfrac{3}{4}\)
Mà \(\dfrac{d\left(H,\left(SCD\right)\right)}{d\left(B,\left(SCD\right)\right)}=\dfrac{SH}{BS}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow d\left(H,\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3}{4}d\left(B,\left(SCD\right)\right)\)
Lại có \(\dfrac{d\left(B,\left(SCD\right)\right)}{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}=\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(H,\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3}{8}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)
Trong tam giác vuông SAC, từ A kẻ AK vuông góc SC
Do \(\left\{{}\begin{matrix}CD\perp SA\\CD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow CD\perp AK\)
\(\Rightarrow AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AK\) là k/c A đến (SCD) hay \(AK=d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)
Theo Pitago: \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
Trong tam giác vuông SAC với đường cao AK:
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}\)
\(\Rightarrow d\left(H,\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3}{8}.\dfrac{a\sqrt{30}}{5}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}\)
Sử dụng tọa độ hóa thì như sau:
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz, gốc O trùng A, Oz trùng AS, Ox trùng AD, Oy trùng AB
\(\Rightarrow B\left(0,a,0\right);C\left(a,a,0\right);D\left(2a,0,0\right);S\left(0,0,a\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SD}=\left(2a,0,-a\sqrt{3}\right);\overrightarrow{CD}=\left(a,-a,0\right)\)
\(\Rightarrow\left(SCD\right)\) có một vtpt là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{SD}\right]=\left(a\sqrt{3};a\sqrt{3};2a\right)=a\left(\sqrt{3},\sqrt{3},2\right)\)
\(\Rightarrow\)Phương trình mặt phẳng \(\left(SCD\right)\): \(\sqrt{3}x+\sqrt{3}y+2z-2a\sqrt{3}=0\)
Từ A kẻ AH vuông góc AB, do \(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AB\\BC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AH\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\) là hình chiếu của A lên \(\left(SBC\right)\)
Trong tam giác vuông SAB với đường cao AH:
\(AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Từ H lần lượt kẻ \(HM\perp SA;HN\perp AB\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{AH^2}{SA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\\AN=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{3a}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow H\left(0,\dfrac{3a}{4},\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)\) \(\Rightarrow d\left(H,\left(SCD\right)\right)=\dfrac{\left|0.\sqrt{3}+\dfrac{3a}{4}.\sqrt{3}+\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.2-2a\sqrt{3}\right|}{\sqrt{3+3+4}}=\dfrac{3a\sqrt{30}}{40}\)
