Violympic toán 8

Đẹp Trai Không Bao Giờ S...

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm 2 đường chéo. C/m:

\(\dfrac{AB+BC+CB+AD}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+AD\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 11 2018 lúc 20:51

Bạn ghi nhầm đề thì phải, tự nhiên ban đầu có BC+CB, chắc là BC+CD

Sử dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, OAD ta có:

OA+OB>AB; OB+OC>BC; OC+OD>CD; OA+OD>AD

Cộng vế với vế ta được:

2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+AD

\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}\) (1)

Tương tự, sử dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB ta có:

AB+BC>AC=OA+OC

BC+CD>BD=OB+OD

CD+AD>AC=OA+OC

DA+AB>BD=OB+OD

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:

\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(\Rightarrow AB+BC+CD+AD>OA+OB+OC+OD\) (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Bình luận (1)
@Nk>↑@
12 tháng 11 2018 lúc 20:58

Hình bạn vẽ nha bạn.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

\(AB< OA+OB\)

\(BC< OB+OC\)

\(CD< OC+OD\)

\(DA< OD+OA\)

Do đó: \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)

Hay \(OA+OB+OC+OD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)(1)

Ta lại áp dụng bất đẳng thức tam giác:

\(AB+BC>AC\)

\(BC+CD>BD\)

\(CD+AD>AC\)

\(AB+AD>BD\)

Do đó: \(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)

Hay \(AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

\(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+DA\)

Bạn ghi sai cái đề chỗ \(\dfrac{AB+BC+CB+AD}{2}\) nha

Bình luận (0)
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
12 tháng 11 2018 lúc 20:47

bài này mk làm đc rồi nhưng sợ trình bày sai nên hỏi cho chắc

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Huy Nguyễn Quang
Xem chi tiết
Thanh Nguyenthi
Xem chi tiết
VĂN LƯƠNG NGỌC DUYÊN
Xem chi tiết
Bong Bóng Công Chúa
Xem chi tiết
Phạm Khánh Huyền
Xem chi tiết
Phạm Khánh Huyền
Xem chi tiết
Vũ Hoàng Thái Bảo
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết