Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Trần Quốc Uy

Trong khai triển (x3+2x2+x+2)n thành đa thức, hệ số của x3n-3 là 18683n/3. Tìm n

Rimuru tempest
11 tháng 11 2018 lúc 21:20

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left(x+2\right)^n\left(x^2+2\right)^n\)

SHTQ \(C_n^k.x^{n-k}.2^k.C_n^i.\left(x^2\right)^{n-i}.2^i=C_n^k.C_n^i.2^{i+k}.x^{3n-k-2i}\)

\(x^{3n-3}\Leftrightarrow3n-3=3n-k-2i\Leftrightarrow k+2i=3\)

mà k,i\(\in N\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3;i=0\\k=1;i=1\end{matrix}\right.\)

mà hệ số \(=?????\)

\(\Leftrightarrow C_n^1.C_n^1.2^{1+1}+C^3_n.C_n^0.2^3=??????\)

bấm máy giải tìm đc n

Bình luận (3)
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 11 2018 lúc 21:53

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left[x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\right]^n=\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton:

\(\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2n-2k}.\sum\limits^n_{l=0}C_n^l.2^l.x^{n-l}=\sum\limits^n_{k=0}\sum\limits^n_{l=0}C_n^k.C_n^l.2^l.x^{3n-2k-l}\)

\(3n-3=3n-2k-l\Rightarrow2k+l=3\Rightarrow\left(k;l\right)=\left\{\left(0;3\right),\left(1;1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{3n-3}\) là:

\(C_n^0.C_n^3.2^3+C_n^1.C_n^1.2^1=\dfrac{18683.n}{3}\Leftrightarrow\dfrac{n!.8}{\left(n-3\right)!3!}+2n^2=\dfrac{18683.n}{3}\)

\(\Leftrightarrow4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18683n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n^2-18675n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) \(\Rightarrow\) Bạn chép đề sai

Sau khi thử lại, nếu hệ số đã cho không phải \(\dfrac{18683n}{3}\) mà là \(\dfrac{18638n}{3}\) (đổi thứ tự hàng chục và đơn vị ở tử số), thì pt trên trở thành:

\(4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18638n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n-18630n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) hoặc \(n=69\) (nhận), ko cần quan tâm nghiệm ko nguyên.

Kết luận: bạn ghi sai số liệu.

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự
Trần Minh Hoàng
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Sonyeondan Bangtan
Xem chi tiết
Bảo Loan
Xem chi tiết
Pham An
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
nguyễn hoàng lê thi
Xem chi tiết
Ngọc Hưng
Xem chi tiết