Đề 5

Phạm Minh Đức

Mọi người giúp với ạ :( . Tìm lim

Un = 2/(Un - 1) + 1 ; U0 = 1.

Phạm Minh Đức
11 tháng 11 2018 lúc 20:20

giúp nào các bạn :D

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 11 2018 lúc 1:10

Giải chi tiết theo kiểu tìm công thức SHTQ thì như sau:

Đề thế này phải ko bạn: \(\left\{{}\begin{matrix}u_0=1\\u_n=\dfrac{2}{u_{n-1}}+1\end{matrix}\right.\)

Ta biến đổi: \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}}\Leftrightarrow u_n+1=\dfrac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}}+1=\dfrac{2\left(u_{n-1}+1\right)}{u_{n-1}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_n+1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n-1}}{u_{n-1}+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n-1}+1-1}{u_{n-1}+1}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{u_{n-1}+1}\)

Tới đây ta đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n+1}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_0=\dfrac{1}{u_0+1}=\dfrac{1}{2}\\v_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}v_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_0=\dfrac{1}{2}\\v_n-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(v_{n-1}-\dfrac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) đặt \(x_n=v_n-\dfrac{1}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\\x_n=-\dfrac{1}{2}x_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_n=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{-1}{2}\right)^n\) \(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{-1}{2}\right)^n=\dfrac{2^{n+1}+\left(-1\right)^n}{3.2^{n+1}}\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}-1=\dfrac{2.2^{n+1}+\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}+\left(-1\right)^n}\)

\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{2.2^{n+1}+\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}+\left(-1\right)^n}=lim\dfrac{2+\dfrac{\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}}}{1+\dfrac{\left(-1\right)^n}{2^{n+1}}}=\dfrac{2+0}{1+0}=2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 11 2018 lúc 1:14

Giải theo kiểu trắc nghiệm không cần biện luận chặt chẽ:

Dễ dàng nhận thấy \(u_n>0\) \(\forall n\). Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là x>0 \(\Rightarrow u_k\rightarrow x\) với mọi k, hay \(\left\{{}\begin{matrix}u_n=x\\u_{n-1}=x\end{matrix}\right.\)

Thế vào công thức truy hồi: \(x=\dfrac{2}{x}+1\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Việt Long
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết
Phú Le
Xem chi tiết
Quỳnh Như Trần Thị
Xem chi tiết
Quỳnh Như Trần Thị
Xem chi tiết
Phong DiAi
Xem chi tiết
Đỗ Thị Linh Hương
Xem chi tiết
Đinh Thùy Trang
Xem chi tiết
caube
Xem chi tiết