Ôn tập chương I : Tứ giác

nhật công super

cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM.H đối xứng với M qua AB, E là giao điểm MH,AB;K đối xứng M qua AC,Fgiao điểm MK,AC

a, tứ giác AEMF, AMBH,AMCK hình gì vì sao

b,CM H đối xứng với K qua A

c,tìm điều kiện tam giác ABC để AEMF vuông

Ngô Thành Chung
11 tháng 11 2018 lúc 7:54

A B C M H K E F 1 2 1 2 a,

Vì H đối xứng với M qua AB

⇒ AB là đường trung trực của HM

⇒ MH ⊥ AB

⇒ ME ⊥ AB

\(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}=90^0\)

Vì K đối xứng với M qua AC

⇒ AC là đường trung trực của MK

⇒ MK ⊥ AC

⇒ MF ⊥ AC

\(\widehat{F_1}=\widehat{F_2}=90^0\)

Vì ΔABC vuông tại A

\(\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{EAF}=90^0\)

Tứ giác AEMF có \(\widehat{E_2}=\widehat{F_2}=\widehat{EAF}=90^0\)

⇒ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (đpcm)

Vì ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

⇒ M là trung điểm của BC

⇒ AM = MB = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC

Vì AB là đường trung trực của HM

mà AB Ω HM = {E}

⇒ E là trung điểm của HM

Vì ΔABC vuông tại A

⇒ AB ⊥ AC

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB ⊥ AC}\\\text{ME ⊥ AB}\end{matrix}\right.\)⇒ AC // ME

Xét ΔABC có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AC // ME}\\\text{M là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)

⇒ E là trung điểm của AB

Tứ giác AMBH có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Đường chéo AB, MH}\\\text{ E là trung điểm của HM}\\\text{E là trung điểm của AB}\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác AMBH là hình bình hành

mà AB ⊥ MH

⇒ Tứ giác AMBH là hình thoi (đpcm)

Vì AC là đường trung trực của KM

mà AC Ω KM = {F}

⇒ F là trung điểm của KM

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB ⊥ AC}\\\text{MF ⊥ AC}\end{matrix}\right.\)⇒ AB // MF

Xét ΔABC có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB // MF}\\\text{M là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)

⇒ F là trung điểm của AC

Tứ giác AMCK có

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Đường chéo AC, MK}\\\text{ F là trung điểm của AC}\\\text{F là trung điểm của MK}\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác AMCK là hình bình hành

mà AC ⊥ MK

⇒ Tứ giác AMCK là hình thoi (đpcm)

b, Vì AB là đường trung trực của MH

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AM = AH}\\\text{BM = BH}\end{matrix}\right.\)

Vì AC là đường trung trực của MK

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AM = AK}\\\text{CM = CK}\end{matrix}\right.\)

Như vậy

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AM = AH}\\\text{AM = AK}\end{matrix}\right.\)

⇒ AH = AK (1)

Vì tứ giác AMBH là hình thoi

⇒ AH // MB

⇒ AH // BC

Vì tứ giác AMCK là hình thoi

⇒ AK // MC

⇒ AK // BC

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AH // BC}\\\text{AK // BC}\end{matrix}\right.\)

⇒ H, A, K thằng hàng (tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho : đường thẳng HK đi qua điểm A và song song với BC) (2)

Từ (1), (2) ⇒ H đối xứng với K qua A (đpcm)

c, Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật

mà để tứ giác AEMF là hình vuông

⇒ AF = AE (2 cạnh kề bằng nhau)

Vì F là trung điểm của AC ⇒ AF = \(\dfrac{1}{2}\)AC

Vì E là trung điểm của AB ⇒ AE = \(\dfrac{1}{2}\)AB

Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AF = AE}\\\text{ AF = }\dfrac{1}{2}\text{ AC }\\\text{AE = }\dfrac{1}{2}\text{AB}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{2}\)AB = \(\dfrac{1}{2}\)AC

⇒ AB = AC

⇒ ΔABC cân tại A

Mà ΔABC vuông tại A

⇒ ΔABC vuông cân tại A

Vậy để tứ giác AEMF là hình vuông thì ΔABC phải là tam giác vuông cân tại A

(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!@@@

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Shin
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Huyền
Xem chi tiết
Mộc Lung Hoa
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nhật
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Nguyệt
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Quynh Chi
Xem chi tiết
Ntl Huong
Xem chi tiết