Question

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax² + bx + c , a khác 0

CM rằng nếu f(x) \(\ge0\) với mọi \(x\in R\) thì 4a + c \(\ge2b\)

Answer 1

Dùng delta đi

Answer 2

\(f\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta=b^2-4ac\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\4ac\ge b^2\end{matrix}\right.\)

Do \(b^2\ge0\) \(\forall b\Rightarrow4ac\ge0\) ; mà a>0 \(\Rightarrow c\ge0\) (ta được phép áp dụng BĐT Cô-si với hai số a, c)

Từ \(4ac\ge b^2\Rightarrow16ac\ge4b^2\Rightarrow4\sqrt{ac}\ge2b\) (1)

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có: \(4a+c\ge2\sqrt{4ac}=4\sqrt{ac}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4a+c\ge2b\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b^2=4ac\\4a=c\end{matrix}\right.\Rightarrow b^2=c^2=16a^2}\)