Violympic toán 9

Lebenslehre

Chuyên mục: BĐT Toán học #2

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 3 GP.

Question: Cho \(a,b>0\) và \(a+b\le1\).Tìm GTLN của biểu thức:
\(A=\dfrac{a^2b^2}{a^4b^2+a^2b^4+a^2+b^2}\)

_Sau phản hồi ''không mấy tích cực'' ở Quiz trước, độ khó phần này đã giảm bớt.

#Nothing_is_impossible

#GudLuck

Unruly Kid
9 tháng 11 2018 lúc 18:59

45782422_308896776597379_7259510326796746752_n.png (1366×768)

Bình luận (0)
Hung nguyen
10 tháng 11 2018 lúc 6:08

Nếu bạn thấy từ max làm cho bạn bị giới hạn về khả năng. Tìm giá trị lớn nhất làm cho bạn thấy khó chịu. Không sao. Bạn có thể chuyển qua tìm min cho bài này:

1/A = a² + b² + (1/a²) + (1/b²)

Bình luận (5)
︎ ︎︎ ︎=︎︎ ︎︎ ︎
9 tháng 11 2018 lúc 12:37

Cmt cho có thông báo :)))

Bình luận (0)
Unruly Kid
9 tháng 11 2018 lúc 13:51

Sử dụng BĐT Cauchy, ta có

\(A\le\dfrac{a^2b^2}{4\sqrt[4]{a^4b^2.a^2b^4.a^2.b^2}}=\dfrac{a^2b^2}{4a^2b^2}=\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (5)
Ma Đức Minh
9 tháng 11 2018 lúc 14:22

hừm

tui thích cách đăng bài của bn đấy

Bình luận (0)
Trần Minh Hoàng
9 tháng 11 2018 lúc 17:51

Giảm bớt phần Tiếng Việt, thay bằng Tiếng Anh một số và tăng độ khó.

Bình luận (1)
Dương Ngọc Nguyễn
9 tháng 11 2018 lúc 18:35

Violympic toán 9Violympic toán 9Vậy AMax = 2/17 <=> a = b = 1/2

Đay là cách không dùng bất kỳ BĐT nào !

Bình luận (13)
Eren
9 tháng 11 2018 lúc 19:11

Lần này Cô-si ở mẫu chắc không sao đâu nhỉ :))

Bình luận (0)
Eren
9 tháng 11 2018 lúc 20:38

\(A\le\dfrac{a^2b^2}{4\sqrt[4]{a^4b^2.a^2b^4.a^2.b^2}}=\dfrac{a^2b^2}{4a^2b^2}=\dfrac{1}{4}\)

Nhưng dấu "=" không xảy ra nên \(A< \dfrac{1}{4}\)

Rồi sao nữa ta lolang

Bình luận (2)
Shurima Azir
15 tháng 11 2018 lúc 17:41

\(A=\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2}=\dfrac{a^2b^2}{\left(a^2b^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)}\le\dfrac{a^2b^2}{2\left(a^2b^2+1\right)ab}=\dfrac{ab}{2a^2b^2+2}\) (bđt Cô-si)

=> \(2A\le\dfrac{ab}{a^2b^2+1}=\dfrac{ab}{\left(a^2b^2+\dfrac{1}{16}\right)+\dfrac{15}{16}}\le\dfrac{ab}{\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{15}{16}}\)

(bđt Cô-si)

=> \(A\le\dfrac{ab}{ab+\dfrac{15}{8}}=\dfrac{ab+\dfrac{15}{8}}{ab+\dfrac{15}{8}}-\dfrac{\dfrac{15}{8}}{ab+\dfrac{15}{8}}=1-\dfrac{15}{8ab+15}\le1-\dfrac{15}{2\left(a+b\right)^2+15}=1-\dfrac{15}{17}=\dfrac{2}{17}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = \(\dfrac{1}{2}\)

Liệu đây có được coi là cách mới không ta ?

Bình luận (7)

Các câu hỏi tương tự
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết
Lebenslehre
Xem chi tiết