Giả sử tồn tại a, b nguyên dương sao cho A và B đồng thời là số chính phương.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2-2a^2=m^2\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2-2b^2=n^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\left(I\right)\) (m, n ∈ N)
Lấy (2) trừ (1) ta có:
2(a - b)(a + b) = (n - m)(n + m) (3)
Vì VT(3) ⋮ 2 => VP(3) ⋮ 2 => (n - m)(n + m) ⋮ 2
Mà n - m và m + n cùng tính chẵn lẽ => n - m ⋮ 2 và n + m ⋮ 2
=> VP(3) ⋮ 4
=> (a - b)(a + b) ⋮ 2 mà a - b và a + b cùng tính chẵn lẻ => a - b ⋮ 2 và a + b ⋮ 2
Từ (1) ta có: VT ⋮ 2 => VP ⋮ 2 => m ⋮ 2. Đặt m = 2m'
Cmtt ta có n ⋮ 2. Đặt n = 2n'
\(\left(I\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2-2a^2=4m'^2\left(3\right)\\\left(a+b\right)^2-2b^2=4n'^2\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Vì a + b ⋮ 2 => (a + b)2 ⋮ 4
Từ (3) ta có a2 ⋮ 2 => a ⋮ 2, tương tự b ⋮ 2
Cứ chứng minh như vậy ta sẽ có a và b chia hết cho 2k ∀ k ∈ N
Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi a = b = 0 (vô lý)
Vậy ...
(Bài làm trên đây kết hợp giữa 2 phương pháp chính là phản chứng và xuống thang đó)
Có thể chỉ cho em hướng cách giải và hướng để làm dạng này được không mọi người ?
Giả sử tồn tại a, b nguyên dương sao cho A và B đồng thời là số chính phương.
Đặt {(a+b)2−2a2=m2(1)(a+b)2−2b2=n2(2)(I) (m, n ∈ N)
Lấy (2) trừ (1) ta có:
2(a - b)(a + b) = (n - m)(n + m) (3)
Vì VT(3) ⋮ 2 => VP(3) ⋮ 2 => (n - m)(n + m) ⋮ 2
Mà n - m và m + n cùng tính chẵn lẽ => n - m ⋮ 2 và n + m ⋮ 2
=> VP(3) ⋮ 4
=> (a - b)(a + b) ⋮ 2 mà a - b và a + b cùng tính chẵn lẻ => a - b ⋮ 2 và a + b ⋮ 2
Từ (1) ta có: VT ⋮ 2 => VP ⋮ 2 => m ⋮ 2. Đặt m = 2m'
Cmtt ta có n ⋮ 2. Đặt n = 2n'
(I)⇔{(a+b)2−2a2=4m′2(3)(a+b)2−2b2=4n′2(4)
Vì a + b ⋮ 2 => (a + b)2 ⋮ 4
Từ (3) ta có a2 ⋮ 2 => a ⋮ 2, tương tự b ⋮ 2
Cứ chứng minh như vậy ta sẽ có a và b chia hết cho 2k ∀ k ∈ N
Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi a = b = 0 (vô lý)
Vậy ...
