Chuyên mục: BĐT Toán học #1
Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 3 GP.
Question: Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(ab+bc+ac\ge6\) . Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}+\dfrac{2b^3+3c^3}{b+4c}+\dfrac{2c^3+3a^3}{c+4a}\)
_Xin phép các CTV, tớ để nó ở CHH cho các bạn cùng thử sức, xem như một cách vực dậy box Toán :>
_Có nhiều cách nên các bạn làm sau chính xác vẫn được phần thưởng nhé.
#GudLuck#
\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)
\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)
GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
Keys:
_Dùng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel.
_Biến đổi tương đương
+ Coi a = b = c, khi đó
\(A=\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}=\dfrac{5a^3}{5a}=a^2\)
Vậy ta cần c/m \(A\ge ab\) (a=b=c)
\(\Rightarrow\) \(2a^3+3b^3-ab\left(a+4b\right)\ge0\)
Giải:
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow2a^3+3b^3-a^2b-4ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3+3a^2b-4a^2b-6ab^2+2ab^2+3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì a,b > 0 \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng
\(\Rightarrow2a^3+3b^3\ge ab\left(a+4b\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}\ge ab\)
Tương tự, ta có : \(P\ge ab+bc+ca=6\)
Vậy \(Min_P\) = 6 \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}\)
Biến đổi tương đương à:) Để em:)
Hướng suy nghĩ:
Để ý đẳng thức: \(\frac{2a^3+3b^3}{a+4b}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{\left(a-b\right)^2\left(3a+2b\right)}{2\left(a+4b\right)}\) và điểm rơi tại \(a=b=c=\sqrt{2}\rightarrow P=6\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN tức là chứng minh \(P\ge6=ab+bc+ca\)
Giải
Từ hướng suy nghĩ bên trên:
\(P-\left(ab+bc+ca\right)=\left(\Sigma a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)+\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(3a+2b\right)}{2\left(a+4b\right)}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+3b\right)}{a+4b}\ge0\)
Vậy \(P\ge\left(ab+bc+ca\right)=6\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
P/s: Chị tổ chức chuyên mục lại đi!
Nhìn 3 câu tl, tưởng mn lm dc nhiều lắm. Ai dè...
Còn cách biến đổi tương đương nhé :>
P/s: Hướng làm ở trên rồi, nhanh tay lấy 2 GP còn lại nào :>
\(P\ge\Sigma\dfrac{\sqrt{2a^3.3b^3}}{\sqrt{4ab}}=\Sigma\sqrt{\dfrac{3}{2}}ab\ge\sqrt{\dfrac{3}{2}}.6=3\sqrt{6}\)
Có gì đó sai sai 
