§1. Bất đẳng thức

Tiến Đức

Cho 3 số thực x;y;z thõa mãn x+y+z=0 , x2+y2+z2=8. Tìm Min S= |x| + |y| + |z|

tthnew
28 tháng 10 2018 lúc 13:34

Không biết thêm ĐK \(x^2+y^2+z^2=8\) vào làm gì =,=!

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left| c\right|\ge\left|a+b+c\right|\) (bạn tự chứng minh)

Ta có: \(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y+z\right|=0\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 0

Bình luận (3)
Phung Minh Quan
29 tháng 10 2018 lúc 11:21

Tham khảo nhé :))

\(x+y+z=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y=-z\)\(S=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=\left|-z\right|+\left|z\right|\ge\left|-z+z\right|=\left|0\right|=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}xy\ge0\left(1\right)\\-z^2\ge0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\y\le0\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(z=0\)

Suy ra \(x^2+y^2=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(-z\right)^2-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=-4\)

\(\Leftrightarrow\)\(y=\dfrac{-4}{x}\)

Lại có \(x+y=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{-4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x^2-4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-4}{2}=-2\\y=\dfrac{-4}{-2}=2\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(S\)\(0\) khi \(\left(x,y,z\right)=\left\{\left(2;-2;0\right),\left(-2;2;0\right)\right\}\)

Chúc bạn học tốt ~

Bình luận (2)
HiệU NguyễN
18 tháng 11 2018 lúc 13:52

Trong 3 số x,y,z chắc chắn có 2 số cùng dấu, hoặc cùng dương hoặc cùng âm. Ta có thể giả sử đó là x và y thì \(xy\ge0\)

Từ gỉa thiết : \(8=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2=2\left(x+y\right)^2-2xy\le2\left(x+y\right)^2\)

do đó \(\left|x+y\right|\ge2\)

\(VT=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=2\left|x+y\right|\ge4\)(x+y+z=0)

Dấu = xảy ra:\(\left\{{}\begin{matrix}xy=0\\\left|x+y\right|=2\\\left|z\right|=2\end{matrix}\right.\), cùng các hoán vị của điều ta giả sử , ta suy ra Min đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2;0;-2\right)\)và các hoán vị

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Yeutoanhoc
Xem chi tiết
Cuộc Sống Thầm Lặng
Xem chi tiết
Nguyen Kim Chi
Xem chi tiết
diem ngo
Xem chi tiết
Nguyen Ha
Xem chi tiết
Dương Nhật Hoàng
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết