Lời giải:
Ta liên tưởng đến công thức quen thuộc:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\)
Như vậy ta sẽ tiến hành thêm bớt cho hợp lý:
\(x^3-y^3=6xy+3\)
\(\Leftrightarrow x^3-y^3-6xy=3\)
\(\Leftrightarrow x^3+(-y)^3+(-2)^3-3.(-2).x(-y)=-5\)
\(\Leftrightarrow (x-y-2)(x^2+y^2+4+xy+2x-2y)=-5\)
Thấy rằng \(x^2+y^2+4+xy+2x-2y\geq 0, \forall x,y\)
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} x-y-2=-1\\ x^2+y^2+4+xy+2x-2y=5\end{matrix}\right.(1)\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} x-y-2=-5\\ x^2+y^2+4+xy+2x-2y=1\end{matrix}\right.(2)\)
Với (1):
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=1\\ x^2+y^2+xy=1-2(x-y)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+y^2+xy=-1\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}=-1\) (vô lý)
Với (2)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=-3\\ x^2+y^2+xy=-3-2(x-y)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+xy=3\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+3xy=3\)
\(\Rightarrow xy=\frac{3-(x-y)^2}{3}=-2\)
\((x,y)=(-1,2)\)
Vậy......
