§1. Bất đẳng thức

Bolbbalgan4

Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)

b) \(\dfrac{a}{a+b-c}+\dfrac{b}{b+c-a}+\dfrac{c}{c+a-b}\ge3\)

Akai Haruma
24 tháng 10 2018 lúc 13:56

Lời giải:

Đặt \((b+c-a, c+a-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{y+z}{2}; \frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2})\)

Tất nhiên $x,y,z>0$ vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.

Khi đó, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)

\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}.2\sqrt{xy}}{8xyz}}=3\)

Ta có đpcm

b) Vẫn cách đặt giống phần a. Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{c+a-b}=\frac{y+z}{2z}+\frac{x+z}{2x}+\frac{x+y}{2y}=\frac{y}{2z}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{3}{2}\)

\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{x}{2y}}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

Ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hoàng
Xem chi tiết
bé Cherry
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Thủy
Xem chi tiết
Yuri
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Bolbbalgan4
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
Hoàng Tuấn Đăng
Xem chi tiết
Almira
Xem chi tiết