Lời giải:
Áp dụng hệ quả BĐT AM-GM dạng \(abc\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) thì với \(x\geq 0; 1-x\geq 0\) ta có:
\(-x^3+x^2=x^2(1-x)=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}(1-x)\leq 4\left(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1-x}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
Mà \(\frac{4}{27}< \frac{1}{4}\Rightarrow -x^3+x^2< \frac{1}{4}\)
cho \(0\le x\le1\) cmr:\(-x^3+x^2\le\dfrac{1}{4}\)
Cho \(x,y,z\ge0,x+y+z=2\)
CMR: \(x^2y+y^2z+z^2x\le x^3+y^3+z^3\le1+\dfrac{1}{2}\left(x^4+y^4+z^4\right)\)
Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn \(x^3+y^3\le x-y\).CMR:
1,\(y\le x\le1\)
2,\(x^3+y^3\le x^2+y^2\le1\)
cho 2 số dương x;y thỏa mãn điều kiện: \(x+y\le1\)
chứng minh: \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le\dfrac{-9}{4}\)
Bài 1: Với mọi số x, y. Chứng minh rằng:
a) \((x+y)^2-xy+1\ge(x+y)\sqrt{3}
\)
b) \(x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0\)
Bài 2: Với mọi số thực x, a. Chứng minh rằng:
\(x^4+2x^3+(2a+1)x^2+2ax+a^2+1>0\)
Bài 3: Cho \(a, b, c, d \in R\) và \(b< c < d\). Chứng minh rằng:
a) \((a+b+c+d)^2>8(ac+bc)\)
b) \((a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2\)
Bài 4: Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện: \(p^2+q^2-a^2-b^2-c^2-d^2>0\). CMR:
\((p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2)\le(pq-ac-bd)^2\)
Bài 5: \((a_1b_1+a_2b_2)^2\le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\) dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 6: Cho a>0. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}<\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\)
Bài 7: \(y=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\). Tìm cực trị của y.
Bài 8: Cho \(0\le x, \) \(y\le1 \)và \(x+y=3xy\). CMR: \(\dfrac{3}{9}\le \dfrac{1}{4(x+y)}\le \dfrac{3}{8}\)
Bài 9: Cho \(0\le x, \)\(y\le1 \). CMR: \((2^x+2^y)(2^{-x}+2^{-y})\ge \dfrac{9}{2}\)
Bài 10: Ba số thực a, b, c thỏa: \(a^2+b^2+c^2=2\), \(ab+bc+ca=1\) CMR: \(a,b,c \in [\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}]\)
Cho \(0\le x,y\le\dfrac{1}{2}\).CM: \(\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}\le\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
Cho \(0\le a\le b\le c\le1\). Tìm max
\(A=\left(a+b+c+3\right)\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
Cho \(a^2+b^2+c^2=1\).CMR:
\(-\dfrac{1}{2}\le ab+bc+ac\le1\)
Cho x, y, z >0 thỏa mãn x + y + z = 1
CMR: \(\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{zx+y}}\le\dfrac{3}{2}\)
