Question

cho 2 số a,b thỏa mãn a+b\(\ge\)0. Chứng minh rằng \(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\left(a^5+b^5\right)\le4\left(a^9+b^9\right)\)

Answer 1

Lời giải:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh $(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 2(a^8+b^8)(*)$

Thật vậy, $(*)\Leftrightarrow a^3b^5+a^5b^3\leq a^8+b^8$
$\Leftrightarrow a^5(a^3-b^3)-b^5(a^3-b^3)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^5-b^5)(a^3-b^3)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^4+...+b^4)(a^2+ab+b^2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b$

Do đó $(*)$ đúng

Nhân cả 2 vế của $(*)$ với $a+b\geq 0$ suy ra:

$(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 2(a+b)(a^8+b^8)$

Ta cần chứng minh $2(a+b)(a^8+b^8)\leq 4(a^9+b^9)$

$\Leftrightarrow (a+b)(a^8+b^8)\leq 2(a^9+b^9)$

$\Leftrightarrow a^9+b^9-a^8b-ab^8\geq 0$

$\Leftrightarrow a^8(a-b)-b^8(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^8-b^8)(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^4-b^4)(a^4+b^4)(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^4+b^4)(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a+b\geq 0$

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a+b=0$ hoặc $a=b$