Question

cho x,y là các số tự nhiên và x+y\(\ge\)0. chứng minh \(\frac{1}{1+4^x}+\frac{1}{1+4^y}\ge\frac{2}{1+2^{x+y}}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt $2^x=a; 2^y=b(a,b>0)$. Vì $x+y\geq 0$ nên $ab=2^{x+y}\geq 1$

Yêu cầu đề bài tương đương với:

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2+1)(b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $ab=1\Leftrightarrow 2^{x+y}=1\Leftrightarrow x+y=0$. Vì $x,y$ là số tự nhiên nên $x=y=0$