Question

Tam giác ABC có AD,BE,CF đồng quy tại O. GỌi H là hình chiếu của O trên BC. DA cắt EF tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với DE cắt DF, BC tại M,N. Chứng minh M là trung điểm của IN

Answer 1

Bổ đề: Cho S(ABCD) là chùm điều hòa. Ax//SD và cắt SA,SB,SC tại A,X,Y thì X là trung điểm AY.

cm:Theo định lý thales: \(\dfrac{\overline{AX}}{\overline{SD}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CD}};\dfrac{\overline{AY}}{\overline{SD}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BD}}\).

Mà \(\left(ABCD\right)=-1\Leftrightarrow\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}}=-\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}\Leftrightarrow\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}-\overline{CA}}=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{DB}-\overline{AD}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}+\overline{DA}}=\dfrac{\overline{AC}+\overline{CD}}{2\overline{BD}+\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CD}}{2\overline{BD}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BD}}\Leftrightarrow\overline{AY}=2\overline{AX}\) hay X là trung điểm AY.

#: Quay lại bài toán : Dễ thấy A(KDBC)=-1 nên (KIEF)=-1 nên D(KIEF)=-1. Mặt khác IN // DE nên theo bổ đề trên M là trung điểm IN