Violympic toán 9

Huỳnh Tấn Lộc

Cho tam giác ABC: Chứng minh: Cos2 A+ Cos2 B+ Cos2 C <1

Akai Haruma
13 tháng 10 2018 lúc 23:51

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh một kết quả sau:

Tam giác $ABC$ có $AB=c; BC=a; CA=b$ thì:

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

Chứng minh kết quả này bạn tham khảo ở link sau:

Câu hỏi của Nguyễn Thị Mỹ Lệ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

------------------------------

Áp dụng kết quả trên vào bài toán:

\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos ^2A=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2\)

Tương tự với \(\cos ^2B; \cos ^2C\) suy ra:

\(M=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right)^2+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2\)

Đặt \((b^2+c^2-a^2; c^2+a^2-b^2; a^2+b^2-c^2)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=\frac{y+z}{2}\\ b^2=\frac{x+z}{2}\\ c^2=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(M=\frac{x^2}{(x+z)(x+y)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\)

\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)

\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz}< 1\)

Ta có đpcm.

Bình luận (1)
Tinh Lãm
15 tháng 10 2018 lúc 21:35

Violympic toán 9

Kẻ các đường cao AD, BE,CF ứng với mỗi đáy

Gọi H là trực tâm ( giao của AD,BE,CF )

Xét \(\Delta\) AEB và \(\Delta\)AFC có

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{\text{AF}C}\) ( =90o)

\(\rightarrow\) \(\Delta\) AEB \(\sim\) \(\Delta\)AFC (g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AE}{AB}\) = \(\dfrac{\text{AF}}{AC}\) ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Xét \(\Delta\) AEF và \(\Delta\) ABC

\(\widehat{A}\) chung

\(\dfrac{AE}{AB}\) = \(\dfrac{\text{AF}}{AC}\) (cmt)

\(\rightarrow\) \(\Delta\) AEF \(\sim\) \(\Delta\) ABC (c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}\) = \(\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2\) = \(\cos^2A\) (Áp dụng HTL \(\Delta\)AEB vuông ở E

CMTT : \(\dfrac{S_{BDF}}{S_{ABC}}\) = \(\cos^2B\)

\(\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}}\) = \(\cos^2C\)

\(\Rightarrow\) \(\cos^2A\) + \(\cos^2B\) + \(\cos^2C\) = \(\dfrac{S_{AEF}+S_{BDE}+S_{CDE}}{S_{ABC}}\) <1 (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
ITACHY
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết
Lan_nhi
Xem chi tiết
Phương Thùy
Xem chi tiết
Phạm Kiến Kim Thùy
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
Võ Thùy Trang
Xem chi tiết
Phan Quỳnh Như
Xem chi tiết