Bổ sung đề: Tìm 3 số nguyên x, y, z sao cho \(xyz=x^2-2z+2\)
Giải:
Từ \(xyz=x^2-2z+2\Rightarrow z=\dfrac{x^2+2}{xy+2}\in Z\)
*) Với \(x=y\) ta có \(z=1\)
Vậy mọi bộ 3 số \(\left(x;x;1\right)\) với x là số nguyên dương tùy ý thì thỏa mãn đề bài
*) Với \(x< y\Rightarrow x^2+2< xy+2\Rightarrow\dfrac{x^2+2}{xy+2}< 1\)
=> Không thỏa mãn đề bài
*) Với \(x>y\)
Giả sử bộ 3 số nguyên dương \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn để bài \(\Rightarrow y\left(x^2+2\right)⋮xy+2\)
\(\Leftrightarrow\left[x\left(xy+2\right)-2\left(x-y\right)\right]⋮\left(xy+2\right)\Rightarrow2\left(x-y\right)⋮\left(xy+2\right)\)
Do đó tồn tại số k nguyên dương sao cho \(2\left(x-y\right)=k\left(xy+2\right)\)
+ Với \(k\ge2\) ta có \(x-y\ge xy+2\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y-1\right)+3\le0\) (vô lí)
+ Với \(k=1\) ta có \(2\left(x-y\right)=xy+2\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(y-2\right)=-6\)
Do x; y nguyên dương và \(x>y\Rightarrow y-2=-1\) và \(x+2=6\Leftrightarrow x=4\) và \(y=1\Rightarrow z=3\) (tm)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(4;1;3\right)\) và bộ số \(\left(x;x;1\right)\) trong đó x là số nguyên dương thỏa mãn đề bài.
