Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

Dạ Thảo Đinh

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là 1 điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. lấy điểm E đối xừng với A qua M.

a) Tứ giác ACDE là hình gì? Vì sao?

b) Giả sử R=6,5cm, MA=4cm. Tính CD

c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. chứng minh: MH.MK=\(\dfrac{MC^3}{2R}\)

Ngô Kim Tuyền
3 tháng 11 2018 lúc 13:00

Đường tròn

a) Ta có: đường kính AB vuông góc với dây CD tại M (gt) (1)

\(\Rightarrow MC=MD\left(2\right)\)

Mà MA = ME (E đối xứng với A qua M) (3)

Từ (2), (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACED là hình bình hành (4)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow AB\) là đường trung trực của CD

\(\Rightarrow\) Điểm E nằm trên đường trung trực AB cách đều 2 đầu mút C và D \(\Rightarrow EC=ED\) (5)

Từ (4), (5) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACED là hình thoi

b) Ta có: AB = 2R = 2 . 6,5 = 13 (cm)

\(\Rightarrow MB=AB-MA=13-4=9\left(cm\right)\)

Theo hệ thức lượng ta có:

MC2 = MA . MB = 4 . 9 = 36

\(\Leftrightarrow MC=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)

Từ (2) \(\Rightarrow MC=MD=\dfrac{CD}{2}\)

\(\Leftrightarrow CD=2MC=2.6=12\left(cm\right)\)

c) Áp dụng hệ thức lượng đối với :

- \(\Delta AMC\) ta có:

MH . AC = MA . MC

\(\Leftrightarrow MH=\dfrac{MA.MC}{AC}\)

- \(\Delta BMC\) ta có:

MK . BC = MB . MC

\(\Leftrightarrow MK=\dfrac{MB.MC}{BC}\)

\(\Rightarrow MH.MK=\dfrac{MA.MC.MB.MC}{AC.BC}\)

= \(\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}\left(6\right)\)

\(\Delta ACB\) có cạnh AB là đường kính của đường tròn tâm O nên \(\Delta ACB\) vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng đối với \(\Delta ACB\) ta có:

MC2 = MA . MB (7)

Và AC. BC = MC . AB (8)

Từ (6), (7), (8) \(\Rightarrow\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}=\dfrac{MC^2.MC^2}{MC.AB}=\dfrac{MC^4}{MC.AB}=\dfrac{MC^3}{AB}=\dfrac{MC^3}{2R}\)

Vậy MH . MK = \(\dfrac{MC^3}{2R}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
trần trọng tấn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nagumiel
Xem chi tiết
The Moon
Xem chi tiết
The Moon
Xem chi tiết