Lời giải:
Với những dạng này ta tiến hành phân tích thành nhân tử biểu thức $A$:
\(A=a^4-2a^3-13a^2+46a-35=(a^2+ma+n)(a^2+pa+q)\) ($m,n,p,q$ nguyên)
\(=a^4+a^3p+a^2q+ma^3+mpa^2+mqa+na^2+npa+nq\)
\(=a^4+a^3(p+m)+a^2(q+mp+n)+a(mq+np)+nq\)
Đồng nhất hệ số:
\(\left\{\begin{matrix} p+m=-2\\ q+mp+n=-13\\ mq+np=46\\ nq=-35\end{matrix}\right.\)
Chọn $n=-5; q=7$. Khi đó ta có: \(\left\{\begin{matrix} p+m=-2\\ mp=-15\\ 7m-5p=46\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3; p=-5\)
Do đó: \(A=(a^2+3a-5)(a^2-5a+7)\)
Suy ra để $A$ là số nguyên tố thì điều kiện đầu tiên là một trong 2 thừa số \(a^2+3a-5\) hoặc \(a^2-5a+7\) phải bằng $1$
Nếu \(a^2+3a-5=1\Rightarrow a(a+3)=6=1.6=-6.-1=2.3=-3.-2\) (không có a thỏa mãn)
Nếu \(a^2-5a+7=1\Rightarrow a^2-5a+6=0\)
\(\Leftrightarrow (a-2)(a-3)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2\\ a=3\end{matrix}\right.\)
+) $a=2$ thì $A=5$ là số nguyên tố (t/m)
+) $a=3$ thì $A=13$ là số nguyên tố (t/m)
Vậy $a=2$ hoặc $a=3$
ta có:A=a4−2a3+3a2−4a+5=(a2+2)(a−1)2+3≥3A=a4−2a3+3a2−4a+5=(a2+2)(a−1)2+3≥3
Dấu"=" xảy ra <=> a-1=0 <=> a=1
Vậy min A=3 <=> a=1
