Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Thư Nguyễn Nguyễn

Bài 1. Cho a,b>0 tm a+b=1

Tìm Min P= \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{a^4+b^4}{2}\)

Bài 2, Cho x,y>0 tm x+y = 4/3

Tìm Min A= \(\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+5xy\)

Bài 3. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Tìm Min P= \(\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{a+c-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}\)

Bài 4. Cho a,b,c >1. Tìm Min P= \(\dfrac{a}{\sqrt{b}-1}+\dfrac{b}{\sqrt{c}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{a}-1}\)

@Akai Haruma Chị giúp e bài này đc k chị, tại e sắp thi rồi chị!! E cảm ơn

Akai Haruma
5 tháng 10 2018 lúc 23:07

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)

\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$

Bình luận (2)
Akai Haruma
6 tháng 10 2018 lúc 0:13

Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)

\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)

Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:

\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)

Bình luận (2)
Akai Haruma
6 tháng 10 2018 lúc 0:26

Bài 3:

Đặt \((b+c-a,a+c-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=\frac{x+y}{2}\\ a=\frac{y+z}{2}\\ b=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:
\(P=\frac{2(y+z)}{x}+\frac{9(x+z)}{2y}+\frac{8(x+y)}{z}\)

\(=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{9z}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}\)

\(=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})\geq 2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26\)

(thực hiện BĐT AM-GM cho từng cụm)

Vậy \(P_{\min}=26\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
6 tháng 10 2018 lúc 0:30

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{b}-1+\sqrt{c}-1+\sqrt{a}-1}\)

\(\Leftrightarrow P\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}\)

Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=t(t>3)\)

Khi đó: \(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}=\frac{t^2}{t-3}=\frac{t^2-9+9}{t-3}\)

\(=t+3+\frac{9}{t-3}=6+(t-3)+\frac{9}{t-3}\geq 6+2\sqrt{(t-3).\frac{9}{t-3}}=12\) (theo BĐT AM-GM)

Do đó \(P\geq 12\) hay \(P_{\min}=12\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Thư Nguyễn Nguyễn
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Tuệ Lâm
Xem chi tiết
Trần Thị Mỹ Trinh
Xem chi tiết
Chóii Changg
Xem chi tiết
Lữ Diễm My
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Thịnh
Xem chi tiết
Đặng Hà Minh Huyền
Xem chi tiết
đặng quốc khánh
Xem chi tiết