Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8cm, AC = 15cm. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC tại E.

a,Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

b,Tính độ dài của HE.

Answer 1

a: Gọi M là trung điểm của CD

Xét (M) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

Xét tứ giác AHDE có góc AHD+góc AED=180 độ

nên AHDE là tứ giác nội tiếp

=>góc HAD=góc HED(1)

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAHB vuông tại H có

AH chung

HD=HB

DO đó: ΔAHD=ΔAHB

=>góc DAH=góc BAH=góc DEH

=>góc DEH=góc C

Vì ΔMED cân tại M

nên góc MED=góc MDE

góc MEH=góc MED+góc DEH=góc B+góc C=90 độ

=>HE là tiếp tuyến của (M)

b: \(HM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{8^2+15^2}}{2}=8.5\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{8^2}{17}=\dfrac{64}{17}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow DH=\dfrac{64}{17}cm;CH=17-\dfrac{64}{17}=\dfrac{225}{17}\left(cm\right)\)

=>CD=161/17(cm)

=>EM=161/34(cm)

\(EH=\sqrt{MH^2-EM^2}=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\)